東大生からの挑戦状
論理・算数・数学パズル 第一回 問題・ヒント集
算数や数学の面白い問題を集めてみました。じっくり楽しみながら考えてみてください。
問題が解けた方、もっと難問が欲しい方はぜひご連絡ください。
難問が解けた方には、特典をご用意しております。
以下のPDFより問題をご確認いただけます。
これより下ではヒントを掲載しています。
ぜひまずはヒントを見ずに解いてみましょう！
どうしてもわからない場合はヒントを読んでみてからまた考えてみてください。
問１ヒント
4分の砂時計と5分の砂時計を同時に開始すると、
4分の砂時計が終わったとき5分の砂時計には1分ぶん砂が残っています。
すぐにまた4分の砂時計を開始すると、、、
問2ヒント
この問題はなかなか難しいので、ヒントを二つ用意します。
ヒント①
箱が1，2，3の３つだった場合を考えましょう。
この時最短で猫を確実に見つける方法は、
1日目：2番の箱を調べる。
2日目：2番の箱を調べる。
となります。
猫が2番の箱に入っていたら1日目に見つかり、
1日目で見つからなかったら1日目は1番か3番の箱にいることになります。
猫は必ず隣の箱に移動するので、2日目には必ず2番の箱にいることになります。
ヒント②
猫は毎晩必ず隣に移動するので、
奇数番号の箱にいた次の日は偶数番号の箱に、
偶数番号の箱にいた次の日は奇数番号の箱にいることになります。
まずは初日に猫が偶数番号の箱にいたとして、確実に見つける方法を考えてみましょう。
問3ヒント
安易に考えると40mだと思ってしまいそうですね。
ですが答えは40mではありません。
まずA君はB君に20m差で勝つということはA君が100m走る間にB君は80m走るということ。
またB君がC君に20m差で勝つということはB君が100ｍ走る間にC君は80m走るということ。
B君が80m走る間にC君は何ｍ走れるでしょうか。
問4ヒント
分数を利用してみましょう。
問5ヒント
この本のページ数を中学生以上ならx、小学生なら̻▢とおいてみましょう。（以下ｘで説明するので、小学生の方はｘを▢に置き換えてみてください。）
ページ番号の合計は１＋２＋３＋、、、、、＋ｘ
これを式で表すとｘ（１＋ｘ）/２となります。
あるページが破れた上でページ番号の合計は15000ということは
元のページ数の合計は15000よりも大きくなるはず。
問6ヒント
普通に考えたらどちらを選ぼうが確率は1/2になりそうですよね。
しかしそうはならないんです。
この問題では条件付き確率というものを使います。
Aが起きたという前提でBが起こる確率をP（A｜B）と表記します。
P（A｜B）＝P（A⋀B）/P（A）
となります。
簡単な例を挙げると
さいころを一回ふったら偶数が出た。出た目が2である確率を求めよ。
となったら確率は1/3ですよね。（偶数は2，4，6のいずれかなので）
これを条件付確率で解いてみると
P（偶数がでる｜2が出る）＝P（偶数がでる⋀2が出る）/P（偶数がでる）
＝1/6 / 1/3
＝1/3
条件付確率を使って、それぞれの選択について確率を求めてみよう。
ちなみにこの問題は有名なモンティホール問題という問題です。
答えが直観と全く異なるため、にわかには信じられない面白い問題です。
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